وبلاگ

:
در این پژوهش تحلیلی بر انتقال حرارت تشعشعی در میكروكانال ها انجام شده است. تحلیل حرارتی یك میكروكانال با سطح مقطع مستطیلی شكل كه توسط سیال عاملی چون یك نانوسیال تك فاز با جریان لایه ای خنك می شدند. از نتایج كارهای قبلی كه در شرایط دیواره دما ثابت به دست آمده بودند در این بررسی استفاده شد و نقشه خطای روش یك معادله ای و دو معادله ای در شناسایی مسائلی كه اثر تشعشع در آنها بیشتر است استفاده شد. تبادل تشعشعی بین سطوح سقف و كف میكروكانال بررسی شد. به اثر حضور نانوذره ها و اثر تشعشع در فاصله های بسیار كم نیز اشاره شد.
دیباچه:

در چند دهه اخیر افق های جدیدی پیش روی ساخت تجهیزات و سیستم های با مقیاس میكرو قرار گرفته است. هر چه كه توانایی بشر در افزایش میزان دفع حرارت از واحد سطح تكامل بیشتری یابد امكان استفاده از فناوری های پیشرفته برای افراد بیشتری فراهم می شود. یكی از مهم ترین چالش هایی كه توسعه سیستم های با مقیاس میكرو با آن مواجه بوده و می باشد، مسئله دفع حرارت ناشی از عملكرد این دستگاه ها می باشد، لذا دستیابی به مدارج بالاتر انتقال حرارت با استفاده از میكروكانال ها مورد توجه قرار گرفت لیكن به سهم 

تشعشع در انتقال حرارت در میكروكانال ها كمتر پرداخته شده است.

هدف از پژوهش حاضر در نظر گرفتن سهم تشعشع در انتقال حرارت در میكروكانال ها جهت دستیابی به پیش بینی های دقیق تری از انتقال حرارت كل در میكروكانال ها می باشد.
گفتار نخست
1- معرفی میكروكانال ها
1-1- نیازمندی به گذرگاه های باریكتر برای عبور جریان
جریان سیال داخل كانال ها در بطن بسیاری از سیستم های طبیعی و سیستم های ساخته شده توسط بشر قرار دارد، انتقال جرم و حرارت در سیستم های بیولوژیكی در كل طول دیواره های كانال قابل انجام می باشد، مواردی چون مغز، ریه ، كلیه، روده و مانند آنها، به مانند آنچه كه در بسیاری از سیستم های ساخته شده توسط بشر به وقوع می پیوندد. مواردی چون مبدل های حرارتی، راكتورهای هسته ای، واحدهای تقطیر، واحدهای جداسازی هوا و نظیر آنها. به طور كلی فرایندهای انتقال در طول دیوارة كانال ها انجام می شود، چرا كه جریان حجمی از روی سطح مقطع كانال عبور می كند بنابراین سطح مقطع كانال می تواند به عنوان عبور دهنده سیال به داخل یا خارج دیواره های كانال ایفای نقش نماید. كانال دو وظیفه اساسی دارد كه باید در طول عملكرد خود به انجام برساند:
1- سیال را به برخورد موثر با دیواره های كانال وادار نماید.
2- به منظور اینكه فرایند انتقال به خوبی انجام پذیرد كانال باید همواره سیال جدید را به سمت دیواره فرستاده و سیالی را كه در نزدیك دیواره است و وظیفه فرایند انتقال خود را انجام داده از دیدار دور نماید تا سیال جدید در مجاورت دیواره جایگزین آن شود.
نرخ فرآیند انتقال به مساحت سطح تماس با سیال بستگی دارد كه این خود برای كانال با سطح مقطع دایره ای به قطر كانال، D بستگی داشته همچنان كه نرخ جریان نیز به مساحت سطح مقطع كانال بستگی دارد، كه سطح مقطع نیز به طور خطی با D2 متناسب است، بنابراین نسبت مساحت سطح داخلی كانال به حجم با قطر كانال نسبت عكس خواهد داشت، پر واضح است كه با كاهش قطر نسبت مساحت سطح داخلی كانال به حجم افزایش خواهد داشت.
در بدن انسان دوفرایند انتقال حرارت و جرم با اهمیت بسیار زیاد در ریه و كلیه اتفاق می افتد. جایی كه قطر كانال ها یا به عبارتی دیگر مجراهای باریك چیزی در حدود چهارمیكرومتر می باشد. گستره ای از میكروكانال ها با ابعاد مختلف با ذكر نوع سیستمی كه میكروكانال در آنها به كار رفته است، در شكل (1-1) آورده شده است.
جالب است كه در سیستم های بیولوژیکی فرایندهای انتقال جرم، ابعاد كانال كوچكتری دارند، جایی كه از كانال های با ابعاد بالاتر فقط به منظورجابجایی سیال استفاده می شود. از نقطه نظر مهندسی ما شاهد حركتی از كانال های با ابعاد بالا یعنی حدود 10 تا 20 میلیمتر به كانال های با ابعاد پایین تر می باشیم تا جایی كه علاقه به گستره از چند ده تا چندصد میكرومتر، استفاده از كلمه “مقیاس میكرو” به عنوان یك واژه متداول جهت استفاده در تقسیم بندی های علمی و مهندسی كه با فرایندهایی در این مقیاس سروكار دارند، شناخته شده و پذیرفته شده است.
هرچه ابعاد كانال کوچکتر می شود تعداد بیشتری از تئوری هایی كه برای توصیف وضعیت سیال، انرژی و انتقال جرم استفاده می شد نیازمند بررسی بیشتر جهت حصول اطمینان از اعتبار این تئوری ها در تشریح مسئله با ابعاد میكرو می باشد. دو عامل اساسی جهت دور شدن از تئوری های معمولی جهت توصیف مقیاس میكرو وجود دارد، به عنوان مثال به دلیل قطر كوچك كانال ممكن است شاهد تغییراتی در نحوه مدل سازی جریان سیال داخل كانال باشیم:
1- تغییری در فرایندهای اساسی مانند انحراف از فرضی محیط پیوسته برای جریان گاز، یا اثر گذاری مضاعف بعضی از نیروها مانند نیروهای الكتروسینتیكی و مانند آن.
2- عدم قطعیت در كاربرد عوامل اساسی كه به روش های آزمایشگاهی در مسائل با مقیاس بالاتر به دست آمده است مانند ضرایب افت، ورودی و خروجی، جریان سیال داخل لوله ها.
3- عدم قطعیت در اندازه گیری های مقیاس میكرو مانند ابعاد هندسی و پارامترهای مسئله.

:
مسأله انتقال حرارت در صنعت در حال پیشرفت امروز، به دلیل مطرح بودن آن در شاخه ها و زمینه های کاربردی وسیع، از اهمیت قابل ملاحظه ای برخوردار بوده و مطالعات بسیاری برای بهبود فرایندهای مربوط به آن انجام گرفته و می گیرد. به طور کلی انتقال حرارت از لحاظ ماهیت فیزیکی به سه نوع هدایتی، جابجایی و تشعشعی صورت می گیرد. در انتقال حرارت به روش هدایتی، انرژی حرارتی با حرکت جنبشی یا برخورد مستقیم مولکول ها (مثلا در شاره ساکن) و یا با رانش الکترون ها (مثلا در فلزات) منتقل می شود. انتقال گرما به روش جابجایی را معمولا با انتقال گرما بین یک سیال و یک جسم جامد بیان می نمایند بدین صورت که انرژی حرارتی در نتیجه حرکت سیال نسبت به سطح جسم جامد مبادله می شود. انتقال حرارت تشعشعی بر این اصل استوار است که کلیه اجسام پیوسته انرژی گسل می نمایند که ناشی از دمای بالای آنها است. انرژی تابشی گسیل شده از جسم، براساس نظریه کلاسیک امواج الکترومغناطیسی ماکسول به صورت امواج الکترومغناطیسی و براساس فرضیه پلانک به صورت فوتون های مجزا در فضا منتقل می شود. گسیل یا جذب انرژی تشعشعی در اجسام فرآیندهای کلی است. یعنی تابشی که از داخل جسم سرچشمه گرفته، از سطح آن گسیل می شود و برعکس تابش فرود آمده بر سطح یک جسم، تا عمقی که تابش در آن تضعیف شود، نفوذ می کند.
انتقال حرارت به روش جابجایی به دلیل گستردگی کاربرد در صنعت و خصوصیات ویژه ای که از نظر حضور و حرکت سیال دارد، درخور

 توجه است. عموما تجهیزاتی که به عنوان واسطه انتقال حرارت بین دو سیال مورد استفاده قرار می گیرند، مبدل های حرارتی نامیده می شوند. مبدل های حرارتی برای استفاده در صنایع مختلف از قبیل نیروگاهی، صنایع مربوط به پروسه های شیمیایی (پالایشگاهی، پتروشیمی و غیره)، صنایع تهویه مطبوع و… در نوع و ابعاد مختلف طراحی و ساخته می شوند.

مشکل اصلی در مورد این تجهیزات و به طور کلی تجهیزات حرارتی پایین بودن راندمان می باشد. دلیل این است که انرژی حرارتی را نمی توان به سادگی انرژی مکانیکی و نظیر آن تحت کنترل درآورد و اتلافات در فرآیندهای حرارتی بالاست. انتقال حرارت به علت وجود گرادیان دما صورت می پذیرد و چون در پروسه های حرارتی تجهیزات با محیط اطراف نیز اختلاف دما دارند، لذا انرژی حرارتی با محیط هم مبادله می شود. این موضوع سبب افت راندمان این تجهیزات می گردد.
در صنعت، با در نظر گرفتن ابعاد و راندمان مبدل حرارتی، موضوع افزایش میزان انتقال حرارت و نیز مسائل اقتصادی برای طراحی مبدل های حرارتی مطرح می باشد. حالت بهینه این است که مبدل حرارتی حدالامکان حجم کمتری داشته و راندمان آن نیز بالا باشد. طبق معادله عمومی انتقال حرارت (Q=UA^T و Q میزان انتقال حرارت، U ضریب عمومی انتقال حرارت، A سطح تبادل حرارت و ^T اختلاف دما) برای افزایش میزان انتقال حرارت می توان هر سه کمیت مربوطه را افزایش داد. مقدار UA را در شرایط دماهای ورودی یکسان و کاهش اختلاف دماهای میانگین در مبدل بالا می برند.
در اکثر مبدل های حرارتی از انواع مختلف لوله ها استفاده می شود. در این میان مبدل های حرارتی با لوله های انحنادار نیز طیف وسیعی را تشکیل می دهند. مبدل هایی که در آنها از لوله های انحنادار استفاده می شود در عین حال که از نظر حجم و ابعاد کوچکتر می شوند به دلیل طبیعت جریان در این لوله ها، دارای ضریب انتقال حرارت بالاتری نسبت به مبدل های با لوله های مستقیم بوده و لذا میزان انتقال حرارت بالاتری خواهند داشت.
لوله های انحنادار به انواع کویل های هلیکال، اسپیرال و خم ها دسته بندی می شوند. لوله های انحنادار در راکتورهای شیمیایی، شیرهای متلاطم کننده، مخازن ذخیره سازی، سیستم های بازیافت گرما و… استفاده می شوند. در صنایعی از قبیل خشک کنی و صنایع غذایی، تبرید و فرآیندهای هیدروکربنی به صورت وسیعی از مبدل های حرارتی با لوله های انحنادار استفاده می شود. کاربرد دیگر این لوله ها در تجهیزات پزشکی نظیر ماشین های دیالیز کلیه بوده و نیز در میادین نفتی، لوله های انحنادار به عنوان ابزار Inline برای سنجش ویسکوزیته به کار برده می شوند.

پارامتر مهمی که امروزه در صنعت مورد توجه قرار گرفته است، بزرگ شدن اندازه ماشین ها به موازات پیشرفت صنعتی بوده است. چرخ های آبی کوچک تبدیل به ماشین های بزرگتر و قدرتمندتر شدند. به طوری که در اواخر 1970 و با استفاده از انرژی هسته ای توربین های بخاری از مرز 1000 مگاوات نیز گذشتند. هرچند بازده این نیروگاه ها از 34 درصد فراتر نرفت، در دهه 80 میلادی توربین های گازی پر بازده در قالب سیکل ترکیبی توان الکتریکی را با بازده 50 درصد تولید کردند. تکنولوژی سیکل ترکیبی باعث شد که واحدهای کوچکتر تولید قدرت قابلیت رقابت با نیروگاه های بزرگ را بیابند به طوری که ساخت نیروگاه های با قدرت 100 تا 200 مگاوات اقتصادی شد.

 تمایل به ساخت واحدهای کوچکتر همچنان ادامه دارد. توسعه تکنولوژیک به همراه تولید انبوه به تدریج چارچوب اقتصادی بودن اندازه های بزرگ را زیر سوال برده و به تدریج آن را کنار می زند.

توجه به مولدهای پراکنده برای کاستن تمرکز تولید قدرت الکتریکی است که اخیرا به نتایج قابل توجهی در زمینه صرفه جویی و جلوگیری از اتلاف انرژی رسیده و به قابلیت اطمینان منجر شده است. مولدهای پراکنده توانایی تولید توان بین 3 تا 10 کیلووات برای مصارف خانگی، 50 تا 500 کیلووات برای مصارف تجاری و 1 تا 50 مگاوات برای مصارف صنعتی را دارا می باشند. اولین فایده موجود در کاربرد این تکنولوژی بدین صورت است که اولا کیفیت خدمات در زمینه تحویل انرژی به مصرف کنندگان نهایی بهبود می یابد و ثانیا قابلیت اطمینان سیستم های تولید و توزیع قدرت افزایش می یابد.
با در نظر داشتن این جوانب اداره انرژی ایالت متحده برنامه درازمدت چند میلیارد دلاری خود را در زمینه مولدهای پراکنده اعلام کرده است. امروزه روند پیشرفت در این زمینه با گام های بلندتری دنبال می شود. بخش توزیع و انتقال قدرت تولید قدرت در حدود 7 درصد کل انرژی منتقل شده را تلف می کند که در مقیاس صنعتی تولید قدرت مقدار قابل توجهی می باشد.
استفاده از انرژی های سبز همانند انرژی باد و سلول های خورشید کاربرد فراوان در تولید توان پیدا کرده است. هرچند کاربرد این مولدها از نظر زیست محیطی مطلوب شمرده می شمود اما از نظر اقتصادی، در حال حاضر، به هیچ وجه مناسب نیستند.
استفاده از پیل سوختی نیز گرچه بسیار امیدبخش به نظر می رسد، چه از نظر زیست محیطی و چه از نظر بازده، اما هنوز برای استفاده اقتصادی فاصله زیادی است. در هرحال هزینه تولید برق با پیل سوختی حدود 10 برابر مولدهای عادی است.
جدول (1-1) توان تولیدی انواع مولدهای پراکنده آورده شده است.
مشکلات و هزینه های مربوط به انتقال نیرو از محل تولید به محل مصرف و تعمیرات و نگهداری سیستم های بزرگ مولد انرژی در محل مصرف اقدام کنند. برای این منظور استفاده از مولدهای با هزینه کمتر در تولید، انتقال، تعمیرات و نگهداری مورد توجه قرار گرفته است میکروتوربین ها که طی چند سال اخیر تولید آنها آغاز شده به علت تنوع در ابعاد و توان تولید حجم ناچیز، تمیزی سیستم، قابلیت اعتماد بالا کارایی در کاربردهای متنوع نسبت به سیستم های موجود، راندمان بالا و تنوع در مصرف سوخت های مختلف نظیر گاز طبیعی، گازوییل، اتانول و سایر سوخت ها کاربردهای وسیعی برای اهداف ذکر شده یافته اند. لذا با توجه به مواد فوق بررسی و تحقیق در زمینه میکروتوربین ها جهت دستیابی به تکنولوژی طراحی و ساخت آنها از اهمیت بالایی برخوردار می باشند.

:
انتقال حرارت یکی از راه های رایج انتقال انرژی بین دو جسم می باشد است. اهمیت این مبحث تا جایی است که در بسیاری از پدیده های طبیعی یا صنعتی به طور اختصاصی مورد مطالعه قرار می گیرد. حرارت همواره از محیط با دمای بیشتر به محیط با دمای کمتر انتقال می یابد. رسانش (هدایت)، جابجایی و تشعشع (تابش) سه مکانیزم انتقال حرارت هستند. رسانش و جابجایی به ترتیب مکانیزم های انتقال حرارت در جامدات و سیالات می باشند. تشعشع برای انتشار به محیط مادی نیاز ندارد و در هر سه فاز جامد مایع و گاز وجود دارد.
در اغلب موارد انتقال حرارت کلی ترکیبی از دو یا سه مکانیزم فوق می باشد که صرفنظر کردن از یک مکانیزم موجب بروز خطاهای نسبتا قابل توجه در محاسبات می گردد. به طور مثال در نظر گرفتن همزمان جابجایی و تشعشع برای مسائل کوره ها، موتورهای احتراق داخلی، نازل های موشک و پدیده های جوی ضروری است.

با توجه به کاربرد گسترده علم انتقال حرارت در صنایع مختلف و میزان انرژی مورد استفاده در جریان فرایند انتقال حرارت اهمیت و لزوم 

محاسبه دقیق میزان انرژی گرمایی مبادله شده نمایان می گردد. بررسی جریان های عبوری از داخل کانال ها یکی از موارد مهم و پرکاربرد انتقال حرارت می باشد. در این میان کانال های عمودی به دلیل تاثیرات نیروی شناوری بیشتر مورد توجه می باشند. جریان عبوری از این کانال ها در اغلب موارد گاز می باشد. البته بسته به کاربرد کانال جریان های دو فازی گاز – جامد و گاز – مایع نیز ممکن است به وجود آیند. مبدل های حرارتی، تاسیسات خنک سازی راکتورهای هسته ای، تجهیزات مربوط به فرایندهای شیمیایی و جمع کننده های انرژی در نیروگاه های خورشیدی از جمله مواردی هستند که کانال های عمودی در آنها مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین به منظور خنک سازی سیستم های الکترونیکی مانند ترانزیستورها، کامپیوترها و ترانسفورماتورها از کانالی های عمودی استفاده می شود. بدین منظور قطعات و مدارهای الکترونیکی را بر روی صفحات مخصوص نصب نموده و سپس صفحات را به صورت عمودی در کنار هم قرار می دهند. با توجه به حساسیت قطعات و نیز گرمای تولید شده توسط آنها از بین صفحات سیال خنک عبور می دهند.

کانال های قائم در محیط های متخلخل نیز به کار می روند که به عنوان مثال می توان به کاربرد آنها در علوم هیدرولوژی، مسائل مربوط به مدلسازی مخازن سوخت، فرایندهای تولید فلزات و مخازن جمع آوری زباله های هسته ای اشاره نمود.
در حالت کلی در جریان بررسی انتقال حرارت برای جریان های عبوری از داخل کانال های عمودی چنانچه سهم تشعشع دیواره ها و یا سیال عامل در انتقال حرارت کلی ناچیز در نظر گرفته شود، انتقال حرارت تنها از جنبه جابجایی بررسی می گردد، اما در صورتی که اختلاف دمای سیال با دیواره قابل توجه باشد و دمای دیواره یا سیال نسبتا زیاد باشد صرفنظر کردن از تشعشع خطای بزرگی را در انتقال حرارت کلی به دنبال دارد و لذا برای این موارد انتقال حرارت ترکیبی جابجایی – تشعشع در نظر گرفته می شود.
با ارائه توضیحات فوق شناسایی مکانیزم تشعشع در گازها و تعیین شدت جریان تشعشعی از یک گاز به سطوح مجاور و بالعکس، از مباحث دارای اهمیت می باشد و لذا انتقال انرژی تشعشعی در محیط هایی که قابلیت صدور جذب و تفرق دارند در سالیان گذشته مورد توجه قرار گرفته است.
از طرف دیگر با توجه به رژیم جریان (جریان آرام یا مغشوش) جابجایی نیز امکان دارد به حالت های مختلف با توجه به رژیم جریان اتفاق بیافتد که مباحث مربوط به این مبحث به طور کامل در فصل آتی تشریح می گردد.
در ادامه تاریخچه مطالعات صورت گرفته توسط محققین و پژوهشگران مختلف در ارتباط با انتقال حرارت درون کانال های عمودی به طور اجمالی بیان می گردد.

با توجه به گسترش روزافزون تکنولوژی و نفوذ آن در عرصه صنعت، استفاده از روش ها و مواد گوناگون برای توجیح نیازهای صنعتی روزمره پیشرفت کرده است.
با توجه به نیازهای گوناگون در عرصه صنعت سازه های مختلف را می توان با توجه به این نیازها طراحی کرد که یکی از این سازه ها، سازه هایی هستند که از مواد FGM ساخته شده اند.
مواد FGM که مخفف (Functionally graded material) می باشد موادی هستند که خاصیت آنها در داخل ماده با توجه به موقعیت آنها قابل تغییر می باشد.
در حقیقت یک ترکیبی از بهترین خواص سرامیک ها و فلزات باعث ایجاد اینگونه مواد می شوند به طور کلی سفتی و قابلیت هدایت الکتریکی و همچنین قابلیت ماشینکاری فلزات از یک طرف و چگالی پایین و سختی و مقاومت بالا و همچنین مقاومت حرارتی سرامیک ها باعث شده است که این گونه مواد مورد اهمیت قرار گیرند.
اینگونه خواص نیازهای بخش های مختلف صنعتی را برآورده می کند به طور مثال در صنایعی نظیر اتومبیل سازی که در آن وزن کم و مقاومت بالا باعث افزایش راندمان سوخت و همچنین طول عمر بالا می گردد. یا در صنایع هوا و فضا و صنایع دفاعی اینگونه موارد کاربرد دارند.

به طور مثال پوسته موتور راکت می تواند به صورتی ساخته شود که داخل آن از یک ماده شکننده و خارج آن از یک فلز قوی و بین این دو 

ماده نیز ماده ای می باشد که خواص آن دارای یک شیب تدریجی و آهسته می باشد که همان بحث مواد FGM را مطرح می کند.

با تغییر درصد مقدار این مواد می توان به ماده ای که دارای خواص مورد نظر است رسید.
متغیر بودن خواص یک ماده باعث کاهش تنش های حرارتی و تنش های پسماند و ضریب متمرکز تنش می شود.
موجود نبودن هرکدام از مواد تشکیل دهنده FGM باعث ایجاد گسیختگی در جسم تحت بعضی از شرایط بارگذاری می شود که این بارگذاری ها می توانند استاتیکی، دینامیکی و حرارتی باشند. که این گسیختگی با شروع ترک ها در ناحیه بین دو ماده (INTERFACE) و گسترش آن به سمت قسمت ضعیف تر جسم ایجاد می شوند. با تغییر ضرایب (THERMAL EXPANSION) مواد تنش های حرارتی ایجاد می شوند.
در حقیقت تفاوت این گونه مواد با مواد کامپوزیت این است که هنگامی که نسبت حجمی در سراسر یک کامپوزیت 1 باشد آنگاه آن ماده FGM خواهد بود.
اگرچه تکنولوژی ساخت این مواد دوران شروع رشد خود را سپری می کند اما به دلیل مزایای استفاده از این مواد، تلاش های بسیار زیادی در جهت ساخت آنها صورت گرفته شده است.
با توجه به اینکه روز به روز استفاده از این مواد در صنایعی نظیر هوا و فضا، اتومبیل سازی و همچنین در صنعت داروسازی گسترش پیدا کرده است، روش های جدیدی برای طراحی و تحلیل ساختارهایی که از این گونه مواد ساخته شده اند توسعه یافته است.
اگرچه مواد FGM دارای خاصیت ناهمگنی زیادی هستند اما می توان تغییرات خواص آنها را در جسم به صورت بسیار آرام در نظر گرفت که این مسئله کمک به بدست آوردن حل تحلیلی و همچنین حل عددی می کند.
فصل اول: تاریخچه و بررسی مدل تغییرات خاصیت ماده FGM
1-1- تاریخچه
کارهای صورت گرفته شده در رابطه با مواد FGM را می توان از دو دید بررسی کرد یکی کارهای صورت گرفته شده در رابطه با تعیین نوع تابعی است که ثابت های ماده را مشخص می کند و دیگری کارهای صورت گرفته شده در رابطه با حل اینگونه مسائل تحت بارگذاری مشخص می باشد که با توجه به پروژه تعریف شده بیشتر به سراغ تاریخچه حل مسائل دینامیک می رویم. در رابطه با به دست آوردن یک دید کلی از این مواد اشاره کرد که این مراجع به بحث و بررسی در رابطه با پیدا کردن تابع مناسب پرداخته اند.
در حقیقت برای پیدا کردن این توابع محدودیت هایی وجود دارند که به طور مثال این توابع باید پیوسته و همچنین ساده و دارای قابلیت نشان دادن انحناء هم تقعر به سمت پایین و هم تقعر به سمت بالا را داشته باشد برای بررسی بهتر به [17] مراجعه شود.
در این پروژه به دو نوع از تغییرات اشاره شده است که این دو نوع تغییر تمام حالت های تحلیلی دیگر را پوشش می دهد.
قانون تابع نمائی که این بسیار معمول بوده و در بررسی مسائل شکست مواد FGM از این حدس استفاده می شود. و دیگری حدس به صورت تابع توانی (POWER LAW) می باشد که تمام خواص مطلوب را ارضاء می کند که در این پروژه خواص ماده با توجه به این حدس مورد تحلیل قرار می گیرد البته در مورد این دو حدس در قسمت فرمولاسیون توضیح داده خواهد شد.